问答
分块矩阵求逆矩阵的方法
2024-07-31
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逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C，假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。
矩阵A可逆，有AA-1=I。（A-1）TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I
由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的.逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。
性质：
①同结构的分块上（下）三角形矩阵的和（差）、积（若乘法运算能进行）仍是同结构的分块矩阵。
②数乘分块上（下）三角形矩阵也是分块上（下）三角形矩阵。
③分块上（下）三角形矩阵可逆的充分必要条件是的主对角线子块都可逆；若可逆，则的逆阵也是分块上（下）三角形矩阵。
④分块上（下）三角形矩阵对应的行列式。
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